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tmchiam
Guest
dy / dx = (y-1) / x (x> 0)
Y résoudre, par séparation de variables
Y résoudre, par séparation de variables
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jayc
Guest
tmchiam a écrit:
dy / dx = (y-1) / x (x> 0)Y résoudre, par séparation de variables
dy / dx = (y-1) / x (x> 0)Y résoudre, par séparation de variables
T
tmchiam
Guest
jusqu'à ce que les pièces de l'intégration est correcte:
ln (y-1) = ln x B
où B est une constante arbitraire
pls expliquer pourquoi il en est ainsi, pour la solution suivante.
Sur la résolution de ce équation pour y, en prenant d'abord l'exponentielle des deux côtés, nous obtenons
Y = 1 A e ^ lnx B
= 1 A e ^ B.e ^ lnx
=???
ln (y-1) = ln x B
où B est une constante arbitraire
pls expliquer pourquoi il en est ainsi, pour la solution suivante.
Sur la résolution de ce équation pour y, en prenant d'abord l'exponentielle des deux côtés, nous obtenons
Y = 1 A e ^ lnx B
= 1 A e ^ B.e ^ lnx
=???
J
jayc
Guest
oops.Vous avez raison.J'ai oublié la constante d'intégration.
Multiplions les deux membres par dx:<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$dy = \frac{y-1}{x}dx' title="3 $ dy = \ frac (y-1) (x) dx" alt='3$dy = \frac{y-1}{x}dx' align=absmiddle>diviser par deux côtés (y-1):<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$\frac{1}{y-1} dy = \frac{1}{x} dx' title="3 frac $ \ (1) (Y-1) dy = \ frac (1) (x) dx" alt='3$\frac{1}{y-1} dy = \frac{1}{x} dx' align=absmiddle>intégrer les deux côtés:<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$\ln(y-1) = \ln{x} C' title="3 Dans $ \ (y-1) = \ ln (x) C" alt='3$\ln(y-1) = \ln{x} C' align=absmiddle>tout soulever, par exponentielle:<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$y-1 = e^{ln(x) C} = e^{ln(x)} e^{C}' title="3 $ y-1 = e ^ (ln (x) C) = e ^ (ln (x)) e ^ (C)" alt='3$y-1 = e^{ln(x) C} = e^{ln(x)} e^{C}' align=absmiddle>algèbre:<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$y-1 = x e^{C}' title="3 $ y = x-1 e ^ (C)" alt='3$y-1 = x e^{C}' align=absmiddle>
(Disons simplement appel
<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$e^{C}' title="3 $ e ^ (C)" alt='3$e^{C}' align=absmiddle>
since its just a constant anyway)
k
depuis sa juste une constante de toute façon)<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$y = kx 1' title="3 $ y = kx 1" alt='3$y = kx 1' align=absmiddle>Je pense que l'objet de votre question portait sur l'étape d'obtenir des
<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$e^{ln(x) C}' title="3 $ e ^ (ln (x) C )" alt='3$e^{ln(x) C}' align=absmiddle>
à
<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$x e^{C}' title="3 $ x e ^ (C)" alt='3$x e^{C}' align=absmiddle>
.Il est une propriété des exposants qui
<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$n^{a b} = n^a n^b.' title="3 ^ n $ (a b) ^ n = a n ^ b." alt='3$n^{a b} = n^a n^b.' align=absmiddle>
Multiplions les deux membres par dx:<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$dy = \frac{y-1}{x}dx' title="3 $ dy = \ frac (y-1) (x) dx" alt='3$dy = \frac{y-1}{x}dx' align=absmiddle>diviser par deux côtés (y-1):<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$\frac{1}{y-1} dy = \frac{1}{x} dx' title="3 frac $ \ (1) (Y-1) dy = \ frac (1) (x) dx" alt='3$\frac{1}{y-1} dy = \frac{1}{x} dx' align=absmiddle>intégrer les deux côtés:<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$\ln(y-1) = \ln{x} C' title="3 Dans $ \ (y-1) = \ ln (x) C" alt='3$\ln(y-1) = \ln{x} C' align=absmiddle>tout soulever, par exponentielle:<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$y-1 = e^{ln(x) C} = e^{ln(x)} e^{C}' title="3 $ y-1 = e ^ (ln (x) C) = e ^ (ln (x)) e ^ (C)" alt='3$y-1 = e^{ln(x) C} = e^{ln(x)} e^{C}' align=absmiddle>algèbre:<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$y-1 = x e^{C}' title="3 $ y = x-1 e ^ (C)" alt='3$y-1 = x e^{C}' align=absmiddle>
(Disons simplement appel
<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$e^{C}' title="3 $ e ^ (C)" alt='3$e^{C}' align=absmiddle>
since its just a constant anyway)
k
depuis sa juste une constante de toute façon)<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$y = kx 1' title="3 $ y = kx 1" alt='3$y = kx 1' align=absmiddle>Je pense que l'objet de votre question portait sur l'étape d'obtenir des
<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$e^{ln(x) C}' title="3 $ e ^ (ln (x) C )" alt='3$e^{ln(x) C}' align=absmiddle>
à
<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$x e^{C}' title="3 $ x e ^ (C)" alt='3$x e^{C}' align=absmiddle>
.Il est une propriété des exposants qui
<img src='http://www.elektroda.pl/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?3$n^{a b} = n^a n^b.' title="3 ^ n $ (a b) ^ n = a n ^ b." alt='3$n^{a b} = n^a n^b.' align=absmiddle>